１．１１の倍数の見分け方 その①
１１の倍数の見分け方は、
１つとばしに飛ばした２つの数の差が０か１１になる、です。
具体的には、160875という数字があるとします。
この場合、５の1つ飛ばしは８さらに1つ飛ばしは６ですので５＋８＋６＝１９
７の1つ飛ばしは０、さらに１つ飛ばしは１で７＋０＋１＝８となります。
この2つの数 １９－８＝１１なのでこれは１１の倍数となります。
なぜそうなるのでしょうか。今、6ケタの数字、⑥⑤④③②①があるとします。
⑥は６という訳ではなくて０から９までのなんの数字でもよい６ケタ目の数字ということです。
１０００００の位 ⑥
１００００の位 ⑤
１０００の位 ④
１００の位 ③
１０の位 ②
１の位 ①ということですので、これをべつの表現でかくと
⑥×１０００００＋⑤×１００００＋④×１０００＋③×１００＋②×１０＋①となります。
これを下のように変形します。
⑥×（１００００１－１）＋⑤×（９９９９＋１）＋④×（１００１－１）×
③×（９９＋１）×②（１１－１）＋①
この分解のしかた、なかなか思いつきませんね。
実は１００１＝７×１１×１３に分解できます。これは色々と使えますので知ってると便利です。
さらに、１００００１、１００００００１と間に偶数個の０を書き、１で挟んだ数は１１で割り切れます。また９９９９や９９は１１で割り切れることはすぐわかりますね。
よって上の変形式の
⑥×１００００１＋⑤×９９９９＋④×１００１＋③×９９＋②×１１は１１の倍数とわかります。
のこされた、①－②＋③－④＋⑤－⑥＝（①＋③＋⑤）－（②＋④＋⑥）が１１の倍数であると
１１の倍数になることがわかります。
２．１１の倍数の見分け方 その②
【もう一つの方法】「右から２ケタに区切っていき、それぞれを足した数が１１の倍数」であれば１１の倍数です。たとえば、①②③④⑤という数字があるとします。
これを上と同じように表現すると、
⑤×１＋④×１０＋③×１００＋②×１０００＋①×１００００
＝（⑤＋④×１０）＋（③×②×１０）×（９９＋１）＋①×（９９９９＋１）
＝（⑤＋④×１０）＋（③×②×１０）＋①＋（③＋②×１０）×９９＋①×９９９９
赤の部分は１１の倍数とすぐにわかります。
ということは、④⑤と③②と①の数字の和が１１の倍数だったら１１の倍数ということがわかります。
これを何度もくりかえせばよいですね。
たとえば 2001911846 は１１の倍数でしょうか？
４６＋１８＋９１＋０１＋２０＝１７６ となり１１の倍数ですね。
不安ならさらに ７６＋１＝７７をしてこれで１１の倍数が確認できます。
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