難易度
本問題は四角形ではなく、三角形の内部に1点がある形となっていますが、ラングレーの問題-4点角問題（整角三角形の問題）に分類されます。外心や内心、傍心の性質について学んでいれば、若干難易度は下がりますが、小学生が解くとなると最高レベル、反則級クラスの問題といえると思います。
斉藤 浩 先生著の「ラングレーの問題にトドメをさす！」現代数学社 にも掲載されている問題です。この本によれば、この問題よりさらに難しい問題がまだまだあるようで、恐るべしです。
【ヒント】なんとか対称な図形を作ろうと工夫しますが、うまくいきません。まず点Ａ，Ｂ，Ｃから
等距離にある点Ｅをとります。なんとなく△ＡＢＥは正三角形のような気がしますが、、、しっかりと検証が必要です。∠ＥBC=∠ＥＣＢ＝●とすると、△ＥＡＢ，△ＥＡＣは二等辺三角形なので∠ＥＢＡ＝●＋５０＝∠ＥＡＢ、∠ＥＣＡ＝●＋３０＝∠ＣＡＥ よって∠ＢＡＣ＝●●＋８０となります。
∠ＢＥＣ＝１８０－●● 以上より四角形ＡＢＥＣの内角の和＝（●●●●＋160）+180－●●＝340+●●=360となります。 よって●＝10°とわかります。
結果△ＡＢＥは正三角形でした！
さて次に対称な図形を作るため、ＣＥの延長とＤＢの延長の交点をＦとすると、∠ＢＥＦ＝10+10=20°
∠ＢＦＥ＝30-20＝10°となります。△ＢＡＦと△ＢＥＦは二辺（ＢＡ＝ＢＥ，ＢＦ共通）とその間の角（∠ＡＢＦ＝∠ＥＢＦ＝１５０°）が等しいので合同な三角形で ∠ＢＡＦ＝20°です。
【解答】
△ＡＦＣにおいて ∠ＡＣＤ＝∠ＦＣＤ＝20°、∠ＥＦＤ＝∠ＡＦＤ＝10°より
△ＣＥＤと△ＣＨＤ，△ＩＦＤと△ＧＦＤはそれぞれ合同な三角形となりますので、
ＤＩ＝ＤＨ＝ＤＧとなります。よって △ＤＡＧと△ＤＡＨも合同となり、∠ＨＡＧ＝４０＋６０＋２０＝120°なのでＸ＝∠ＢＡＤ＝６０－２０＝４０° ・・・（答え）
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