灘中 2022年入試問題より
【問題】２を10回かけてできる数、
2×2×2×2×2×2×2×2×2×2を17で割った余りは、
アです。また、2を2022回かけてできる数、
を17で割った余りは、イです。
【ヒント】以前お話しした、「数と計算の武器 modと負の数」を読んだあとに
是非解いてほしい問題です。モッドを学んだあとに解くと、とてもすっきりします。
17でわって、余りが１になるか、1不足（－１）するかのどちらかの数をみつけて
それを基準として、計算を簡単にしていくことが重要です。
2×2×2×2＝16ですので、2×2×2×2は17でわると１足りません（余りがー1）。
これが活用できそうです。
2を何個も書くと大変ですので、以前ご紹介した累乗での表記を使います。
【解答】2×2×2×2≡ー1（mod17)ですので、\(2^{8}\)≡(－1)×(－1)=1(mod17)
となります。よって、\(2^{10}\)≡2×2(mod17) となり、
余りは４・・・（アの答え）となります。
同様に、\(2^{8}\)≡１(mod17)を活用して、2022＝252×８+6ですので、
\(2^{2022}\)≡\(2^{6}\)≡64≡47≡30≡13(mod17)
となります。よってあまりは 13・・・（イの答え）となります。
考え方を理解するまで時間がかかるかもしれませんが、理解できれば一瞬でとけますので
是非、自分のものにしてください。
暗記するのではなく、納得できるまで考え、自分の武器にすることが重要です。
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