あまりの考え方でとても便利なものとして、mod（合同式)があります。
これは算数では習いませんが、無茶苦茶便利なので絶対にしっておいてほしいです。
以前、「九去法」のところでウラ技として少し触れてますのでそちらも参照ください。
今回マスターしてほしい考え方は、「合同式」と「負の数字」という２つの考え方です。
負の数字とは
簡単にいうと数字に方向の考えをとりいれたようなイメージです。
私たちが日ごろ使用している１、２、３という数字が０を起点に右方向に進むイメージとすると、反対方向、つまり０を中心に左方向に進んだ数字に －の記号をつけて表現し、マイナスと呼んでいます。
２とー2は進んだ量は同じですが、方向が違うイメージですね。
詳しくは別の機会にまなぶとして マイナスとマイナスを掛けると＋（プラス）になり、
マイナスとプラス（プラスとマイナス）を掛けるとー（マイナス）になることは知っておいてほしいです。具体的には （－１）×（－１）＝＋１となり、プラスの場合は省いて１と通常表現します。
（－１）×１＝－１となるということです。
・１は何回かけても１
・（－１）は偶数回かけると１、奇数回かけるとー１となることは押さえておきましょう。
modとは？
簡単にいいますと、ある数をわったときの余りだけに注目したグループわけです。
例えば今、７と91という数字があるとします。この数字を３で割った場合、あまりに注目すると、
グループA ３でわって０余る（割り切れる）
グループB ３でわって１余る
グループC ３でわって２余る（＝１不足する）という３つのグループにわけることができます。
７は３で割ると２余り１となり、１あまるグループBに属します
91は３で割ると30余り1となり、これまた1余るグループBに属します
同じグループに属するときは、合同といい、７≡91（mod3)と書き、
７ごうどう91もっど３と読みます。
格好良い言い方をすると、「７と91は３を法として合同である」といいます。
実はこれ、数をグループわけするときにとても便利な考え方なんです。
なにが便利か、
まず、すべての数をもれなくグループわけできます。
そして ア≡イ（mod ウ）が成り立つ時、
ルール１．アーイ≡イーイ≡０（mod ウ）
ルール２．ア＋イ≡イ＋イ（mod ウ）
ルール３．ア×イ≡イ×イ（mod ウ）
と普通の式の計算でできることが、わり算以外そのままできます。
また、≡は＝同様に何個でもつなぐことができます。
わり算以外と書いたのはわり算のときは条件付きででしか成り立たないためです。
詳しくは別の機会に勉強するとして、とりあえずたし算、ひき算、かけ算で使えると思ってください。
これを活用すれば、先ほどの例はルール1やルール２を活用し、各グループで３を足したりひいたりして
90≡87≡84≡・・・・・≡6≡３≡０（mod3) あまり０グループ
91≡88≡85≡・・・・・≡７≡４≡１（mod3) あまり１グループ
92≡89≡86≡・・・・・≡8≡5≡2（mod3) あまり２グループ
といった感じとなります。
たとえば ８７×８８をグループわけすると、ルール３を活用し、０×１と同じグループですので余り０のグループにあることがすぐわかるといった感じです。
実際計算すると、８７×８８＝7656 7656＝2332×３となり、余り０です。
裏ワザ 負の数字のところで触れたように、－１を偶数回かけると１、奇数回かけると１、１は何回かけても１という事実とルール３を使うととても便利です。
そのため、グループC は2余るよりも1不足する（＝－１余る）と考えた方が応用ができます。
例えば、\(5^{2022}\) ･･･これは前回ご紹介したとおり、５を2022回かけた数字ですね。
この余りを求めようと思うと、普通に計算すると大変ですが、あまりだけなら今学んだことを組み合わせるとすぐにわかります。5≡ー１ですので、\(5^{2022}\)≡\({-1}^{2022}\)
となり、－１を偶数回かけると１になりますので、 \({-1}^{2022}\)≡１となり,あまりが１であることがわかります。
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