2021年 大宮開成中学入試問題
2010年 駒場東邦中学入試問題 改題より
【問題】
下図のように半径4㎝、中心角60°のおうぎ形を３つ組み合わせた図形Aがあります。
この図形はルーローの三角形とよばれ、自動掃除機ロボットなどの図形のデザインにも
図形の性質が活かされています。次の問いに答えなさい。
ただし円周率は3.14とします。
（１）図１のように図形Aと半径２㎝の円があり、図形Aが円のまわりを
すべることなく転がります。図形Aが通過する部分の面積は何㎠ですか。
（２）図２のように図形Aと同じ図形Bがあり、図形Bが固定されています。
図形Aが図形Bの周りをすべることなく転がります。図形Aが通過する部分
の面積は何㎠ですか。
（３）図３のように図形Aと同じ図形Bがあり、図形Bが固定されています。
半径２㎝の円が図形Bの周りをすべることなく転がります。円が通過する
部分の面積は何㎠ですか。。
【ヒント】
問題にも書いているとおり、P社のお掃除ロボットの名前も同じようなネーミングでした（笑）
その他にも某社のロータリーエンジンに利用されたりと私たちの生活の色々なところで
利用されています。
ルーローの三角形のポイントは定幅図形（ていふくずけい）であるということです。
具体的には、ルーローの三角形を転がすと、高さが一定の幅のまま転がります。
（１）
(2)少しわかりにくいですが、イメージだけ図にしました。（正確にかけてません）
①半径8㎝の外側の円と半径4㎝の内側の円に挟まれた面積ゾーン。
②半径が4㎝のおうぎ形ゾーン。
の2つの図形が60°の間隔で3つずつあります。実は（３）と同じ問題です。
（３）で簡単に説明します。
（３）半径4㎝ののおうぎ型（ア）のゾーンと
半径8㎝の外側の円と半径4㎝の内側の円に挟まれた（イ）のゾーン。
アとイを組み合わせると、半径8㎝の60°のおうぎ型となります。
これが3個あります。
【解答】
（１）6×6×3.14－2×2×3.14＝（36－4)×3.14=100.48㎠・・・（答え）
（2）正直に丁寧に計算してみます。（３）のように計算すると楽です。（笑）
(8×8×3.14－4×4×3.14)×\(\displaystyle\frac{60}{360}\)×3=48×\(\displaystyle\frac{1}{2}\)×3.14=24×3.14
4×4×3.14×\(\displaystyle\frac{60}{360}\)×3＝16×\(\displaystyle\frac{1}{2}\)×3.14=8×3.14
24×3.14+8×3.14=32×3.14=100.48・・（答え）
(3)８×８×3.14×\(\displaystyle\frac{60}{360}\)×3＝32×3.14＝100.48㎠・・・（答え）
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