灘中学 2021年入試問題より
【問題】2021の各位の数の和は 2+0+2+1=5 です。このように、各位の数の和が5である4桁の整数は、2021を含めて全部で＿＿＿個あります。そしてそれらの整数の中で2021は小さいほうから数えて＿＿＿番目です。
【ヒント】合計が5になる組合せは
(5,0,0,0)(1,4,0,0)(2,3,0,0)(1,1,3,0)(1,2,2,0)(1,1,1,2)
となります。もれなく書きだしてみましょう。
色々考えるよりも、もれなく書きだす方がはやそうです。
【解答】
（5,0,0,0)・・5000 1通り
（1,4,0,0)・・1400 1040 1004 4100 4010 4001 ６通り
（2,3,0,0)・・2300 2030 2003 3200 3020 3002 6通り
（1,1,3,0)・・1031 1013 1130 1103 1310 1301 3110 3101 3011 9通り
(1,2,2,0)・・1220 1022 1202 2120 2102 2201 2210 2021 2012 9通り
(1,1,1,2)・・1112 1211 1121 2111 4通り
以上より１＋６＋６＋９＋９＋４＝35通り・・・（答え）
上記より 千の位が１のものは、15通りあり、
千の位が２である数を小さい方から角と、2003 2012 2021 ･･･となるため
2021は15＋３＝18番目・・・（答え）
【おまけ】
これは格好よくとくと、合計の数字が５になることに注目して
〇〇〇〇〇 をどのように分けるかという問題に置き換えます。
つまり、(1,1,1,2)の場合は 〇/〇/〇/〇〇
(5,0,0,0)の場合は 〇〇〇〇〇/// (1,4,0,0)の場合は 〇/〇〇〇〇//
のように 〇〇〇〇〇と///をどのように並べるかという問題と同じです。
つまり///の選び方と一緒で、 8×7×6通りですが、///は並べ方は関係ないので
3×２×１=6通りだぶっています。 よって8×7×６÷６=56通りです。
ここで、問題は4ケタの数字なので、一番最初は０ではありません。
これは 〇〇〇〇〇// の組合せと同じです。
7×６通りのうち 2×１通りダブってますので 7×６÷２＝2１通り
となり、56-21＝35通りとなります。
この程度の問題ですと、すべてならべる方が簡単ですね。
2番目も 千の位が1のとき、百・十・一の合計は４ですので
〇〇〇〇//の組合せを考えます。
（6×５）÷（2×１）＝15通りでので 2003が16番目、2012が17番目
2021は18番目となります。
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