2018年 灘中学入試問題より
【問題】図のように正六角形ABCDEFの内側に点Pをとり、
６つの頂点とPをそれぞれ直線で結びます。三角形ABP,CDP，EFP
の面積がそれぞれ、３㎠，５㎠，８㎠であるとき、
三角形BCPの面積はア㎠です。
【ヒント】何度かご紹介してきたものと一緒です。この手の問題は、
解き方がほぼ決まっています。
詳しくは以前ご紹介した、「図形の武器」正六角形の面積をみてください。
ゼロから始める図形問題の武器 正六角形の面積 | 算数コロシアム (mathcolo.com)
【解答】正六角形の２つの辺を延長してできた正三角形IAF,GBC,HDEを作ります。
この３つの正三角形はもとの正六角形の面積の\(\displaystyle\frac{1}{6}\)です。
また三角形PIAとPAB、PBGは底辺と高さが等しいのでともに３㎠となります。
同様に三角形PGC、PCD、PDHはともに５㎠となり、
三角形PHE、PFE、PIFはともに８㎠となります。
よって大きな三角形IGHの面積は３×３＋５×３＋８×３＝４８㎠となります。
この正三角形は小さな正三角形（IAFなど）9個分となりますので、
小さな正三角形１つの面積は\(\displaystyle\frac{16}{3}\)となります。
よって三角形BCPの面積は
四角形GCPBー三角形BGC=３＋５－\(\displaystyle\frac{16}{3}\)＝\(\displaystyle\frac{8}{3}\)
よってアの面積は2\(\displaystyle\frac{2}{3}\)㎠・・（答え）
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