2018年 開成中学入試問題より
【問題】正方形のマスの中に、１は1個、２は2個、３は3個のように整数ｎはｎ個使い
ある整数から連続した3種類以上の整数を図のように小さい順に並べます。
図１では３マス四方の正方形に2を2個、3を3個、4を4個ちょうど並べ切りました。
図２、図３では６マス四方の正方形に11から１３まで、1から８までの整数をちょうど
並べ切りました。（6マス四方にならべる並べ方はこの2通り以外ありません）
次の問いに答えなさい。（１）（２）では２通り以上の並べ方がある場合は、すべて
答えること。解答欄には図１の3マス四方なら、２～４、図３の６マス四方なら
１１～１３、１～８のように書きなさい。
（１）7マス四方の正方形にちょうど並べ切るには、いくつからいくつまでの整数をならべればよいですか。
（２）１０マス四方の正方形にちょうど並べ切るには、いくつからいくつまでの整数をならべればよいですか。
（３）30マス四方の正方形にちょうどならべきる並べ方は何通りありますか。またそれぞれの並べ方は何種類の整数を整数を使うか求めなさい。6マス四方の正方形にちょうど並べ切る並べ方は、図２図３の11から１３、1～８の2通りです。この場合「2通りの並べ方があり、それぞれ３、８種類の整数を使う」と答えること。また種類を示す整数は小さい順に並べること。
【ヒント】問題が長いですが、一回経験したことがある人にとっては簡単な問題です。
連続する整数の和は「その数の1を除く奇数の約数の数だけある」ことと
連続する整数の和＝①「平均」×「個数」若しくは②｢連続2数のセットの数字」×「セット個数」
であることを理解していればすぐに解けます。
例題の6マスは6×６＝36を連続する整数の和で表すことを参考にします。
36＝2×2×3×３となり、約数は１,36,2,18,3,12,4,9,6の９個あります。
そのうち１以外の奇数は３と９の２つになります。
３６＝３×１２と９×４と表現できます。
①３×１２の場合 平均１２で３個と考えると １１，１２，１３となります。
連即２数セット３を中心に１２セットは存在しないので、上記のみです。
②９×４の場合 平均９で４個と考えると真ん中の数字がないので存在しません。
全族２数セットの数９（４，５）を中心に４セットとかんがえると残り３セットで
１，２，３，４，５，６，７，８となります。
これが問題に与えられたルールですが、背景を知っている人はスムーズに解けると思います。
【１の解答】７マス＝７×７＝４９の約数は１，４９，７となり、２通りありそうです。
４９＝７×７ か１×４９
①平均が７を中心に７個の場合、４，５，６，７，８，９，１０となります。
連続２数セットが７（３，４）を中心に７セットは存在しません。
②平均が４９が１つのパターンは存在しません。
連続２数セットが４９（２４，２５）が１セットはありますが、今回の問題では３種類以上の整数を使うので、該当しません。
よって、４～１０・・・（答え）
【２の解答】１０マス＝１０×１０＝１００の約数は1,100,2,50,4,25,5,20,10の９個の約数のうち１以外の奇数は５と２５の２通りです。
①１００＝５×２０の場合、
平均２０が５個と考え、１８～２２が該当します。
②１００＝２５×４の場合、
平均２５が４個は存在しないので、連続する２数セットが２５（１２，１３）を中心に４セットと考え、９～１６が該当します。
よって 18～２２と9～１６・・（答え）
【３の解答】30マス＝30×30＝900の約数は１,900,2,450,3,300,4,225,5,180,6,150,9,100,10,90,12,75,15,60,18,50,20,45,25,36,30,
の２７通りありそのうち１以外の奇数は３,225,5,9,75,15,45,25の８通りがあります。
３の場合は平均300を中心に3個。
5の場合は平均180を中心に5個
9の場合は平均100を中心9個
15の場合は平均60を中心に15個
25の場合は平均36を中心に25個
45の場合は（22，23）を中心に20セットなので40個
75の場合は（37,38)を中心に12セットなので24個。
225の場合は（112,113）を中心に4セットなので8個。
以上を並べ替えると、
８通りの並べ方があり、それぞれ３,5,8,9,15,24,25,40個の整数を使う・・・（答え）となります。
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