難易度
Ｌ(20,60,50,30)
本日は以前取り扱った、ラングレー最初の問題の別の解法について考えてみます。気になる方は前回の「ラングレーの最初の問題」をご参照いただいた後で、こちらをご覧いただければと思います。
【解法２】たこ型（kite:凧型)を使った解法。
点Ｄを通り、ＢＣに平行な線ＥＤを引きます。点ＥはＡＢの延長線との交点です。補助線ＥＣを引くと、線対称な図形が現れます。△ＦＥＤと△ＦＢＣは、すべての角度が60°なため、正三角形となります。また、∠ＢＡＣ＝５０°＝∠ＢＣＡなので、△ＢＣＡは二等辺三角形で、ＢＡ＝ＢＣです。
ＢＡ＝ＢＣ＝ＢＦなので△ＢＡＦも二等辺三角形となります。
∠ＢＥＣ＝40°、∠ＥＦＡ＝180－∠ＡＦＢ－∠ＢＦＣ＝180-80-60=40°なので、△ＡＦＥは二等辺三角形となり、ＡＦ＝ＡＥとなります。ＤＥ＝ＤＦなので、四角形ＡＥＤＦはたこ型四角形となります。
Ｘ＝∠ADF＝\(\displaystyle\frac{180-80-40}{2}\)=30°・・・（答え）
【解法３】扇型（fan型）を使った解法
ＡＢを1辺とした正三角形ＡＥＢを書きます。△ＢＥＣ（ピンク）は20°を頂角とした二等辺三角形となるので、ＢＣ＝ＢＥ。△ＥＤＢ（ブルー）は∠ＤＥＢ＝１００°を頂角とした二等辺三角形となるので、ＥＤ＝ＥＢ。よって図のようにＢＥ＝ＡＥ＝ＤＥとなり、△ＥＤＡも頂角４０°の二等辺三角形となるので、Ｘ＝∠ＡＤＥ－∠ＢＤＥ＝７０－４０＝30°・・・（答え）
おまけ これは算数の範囲外かもしれませんが、Ｂ，Ａ，Ｄは点Ｅを中心とした円周上の点となります。∠ＡＥＢ＝６０°なので、円周角の定理を使うと、∠ＡＤＢ＝\(\displaystyle\frac{60}{2}\)=30°とすぐにわかります。
他にも解法はありますが、算数の範囲で、他の問題を解く際に武器になりそうなものは前回のものと含めてこの3パターンかと思います。前回触れたとおり、この問題で一番重要なことは、この図形が正18角形の一部であること。正18角形は\(\displaystyle\frac{360}{18}\)=20°を頂角とした二等辺三角形を18個組み合わせた図形です。算数の角度の難問では、よくこの20°の二等辺三角形を題材とした問題が出題されます。
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