【問題】正六角形１つの面積が１㎠のとき、図のように３つの正六角形をくみあわせてできる、
三角形ABCの面積はいくつですか。
【ヒント】直感的にはPH=PQではないかとわかります。（笑）
まずこれを確認します。
△FEDと△DGFは DE=FG,EF=GD，DF共通で3辺が等しいので合同な三角形です。
よって、△FHPと△DQPも2辺とその間の角（FH=DQ，FP＝DP，
∠HFP=∠QDP）が等しいので合同な三角形で、PH=PQとなります。
また、四角形PHEDと四角形PQGFも合同な四角形となります。
四角形PHEDと四角形PQGFは合同な三角形ですので、
紫の六角形DEHIJFは正六角形と同じ面積となります。
紫と緑と赤の六角形の合計の面積は正六角形３つの面積と等しくなります。
よって△ABCの面積は △AEDの面積3つ分であることがわかりますので、
△AEDの面積がわかれば求めることができます。
DO:OPは相似な三角形 △ODEと△OPQに注目して、
DE:PQ=2:1=OD:OPとなります。
ODの長さを２とすると、OP=1.EHの長さはDP(=3)の半分である1.5となります。
EFとDGの長さは等しくなります。
つぎに相似な三角形 △SDOと△AFEに注目して
AD：AF=OD：EF=OD:DG=OD:(DO+OP+PG)=2:(2+1+1.5)
＝2：4.5＝４：９となります。
【解答】
△FEDと△DGFの面積は等しく四角形EDGFは平行四辺形となります。
また平行四辺形EDGFは正六角形の面積と等しく、△FEDの面積は
正六角形の \(\displaystyle\frac{1}{2}\)となります。
AD:AF＝４：９、△EADと△EAFの高さは等しいので
△AEDの面積は正六角形の \(\displaystyle\frac{1}{2}\)×\(\displaystyle\frac{4}{13}\)=\(\displaystyle\frac{2}{13}\)
△ABCの面積は△AEDの3倍で、正六角形の面積は１㎠なので\(\displaystyle\frac{2}{13}\)×３
＝\(\displaystyle\frac{6}{13}\)㎠・・・（答え）
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