2017年 筑波大学付属駒場中学入試問題より
【問題】正六角形の紙に次のような操作を行います。
操作１）図の正六角形を点線で半分におり、
さらにできた台形を点線で、両側の正三角形を真ん中に折り重ね、
図のような正三角形にする。
操作２）操作１でできた正三角形を図のようにハサミで切り、
正六角形を残す。
上の操作１→操作２を1回とかぞえ、操作の後に残った正六角形に対して、
続けて操作を行っていきます。
初めの正六角形の紙は、面積が81㎠です。
（１）1回目の操作の後に残った正六角形の紙を、全部ひろげます。
同様な形の紙になりますか。下図の点線をはじめの正六角形として、
広げた紙の形を書きなさい。
（２）2回目の操作の後にのこった正六角形の紙を、全部ひろげます。
広げた紙の面積を求めなさい。
（３）3回目の操作の後にのこった正六角形の紙を、全部ひろげます。
広げた紙にはいくつか穴があいています。
面積が最も大きい穴は、何㎠ですか。
【ヒント１】
1回目の操作を行った紙を途中までひろげると、下のようになります。
黒の部分はハサミで切り落とした部分です。
【ヒント２】最初の正六角形は、黒い小さな正三角形を１つの単位として
できていることがわかります。最初の正六角形は、黒い正三角形が9×６＝54個分となります。
また1回目の操作の後にできた正六角形は黒い正三角形6個分となります。
【ヒント３】
1回目の操作でできる正三角形は 54個で１つの面積は
81×\(\displaystyle\frac{1}{54}\)= \(\displaystyle\frac{3}{2}\)㎠
正六角形 1つの面積は\(\displaystyle\frac{3}{2}\)×6=9㎠
2回目の操作後にできる正六角形は ９×\(\displaystyle\frac{1}{9}\)=1㎠
3回目の操作後にできる正六角形は 1×\(\displaystyle\frac{1}{9}\)＝\(\displaystyle\frac{1}{9}\)㎠となります。
【解答】
（１）の解答は下図のとおり。
（２）最初の正六角形は黒い正三角形 9×６＝54個
ブルーの正六角形 は黒い正三角形6個分なので、ブルーの部分の合計は
6×６＝36個分
操作1回行うことにより、最初の正六角形の\(\displaystyle\frac{6×6}{9×6}\)＝\(\displaystyle\frac{6×6}{9×6}\)＝\(\displaystyle\frac{2}{3}\)倍となるので、
操作1回目の終了後の面積は、
81×\(\displaystyle\frac{2}{3}\)となり、小さい正六角形１つの面積は
81×\(\displaystyle\frac{2}{3}\)×\(\displaystyle\frac{1}{6}\)=9㎠となります。
操作2回目の終了後はさらに、９×\(\displaystyle\frac{2}{3}\)＝６となり、
この正六角形が6個あるので、6×６＝36㎠・・（答え）
（３）1回目の操作後にできる一番大きな穴は正六角形１つで９㎠となります。
2回目の操作後にできる追加の穴は、正六角形の１つの角に正三角形が４個追加されるので、
4×６＝24個分のあなで、これは正六角形に換算すると24÷６＝４個分となります。
2回目の操作後にできる正六角形の面積は１㎠なので １×４＝４㎠となります。
３回目の操作後にできる追加の穴は、正六角形１つの角に正三角形が１６個追加されるので、
１６×６＝９６個分の穴で、これは正六角形に換算すると９６÷６＝１６個分となります。
３回目の操作後にできる正六角形の面積は\(\displaystyle\frac{1}{9}\)㎠なので
\(\displaystyle\frac{1}{9}\)×１６＝\(\displaystyle\frac{16}{9}\)㎠
よって求める面積は９＋４＋\(\displaystyle\frac{16}{9}\)
＝１４\(\displaystyle\frac{7}{9}\)㎠・・・（答え）
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