※この問題は算数の範囲外の知識が一部入ってますが、先日の問題の関連として、
書きます。
【問題】一辺が2㎝の正八面体ABCDEF（立体あ）があります。
それぞれの面（一辺が2㎝の正三角形）の重心を結んでできた立体
アイウエーオカキク（立体い）は正六面体（立方体）になることがわかっています。
（立体あ）と（立体い）の体積比はいくつですか。
重心とは三角形ABCにおいて各頂点からその対の辺の中点（真ん中の点）
を結んだ交点、つまりBC、AC、ABの中点をM,N,Lとすると
AMとBN,CLの交点のことをいいます。
【ヒント】少し、算数の範囲を超えるところがありますが、できる限りわかるように
説明します。
四面体A-BCDEの高さをAHとします。
BCの中点をMとして三角形AMHについて考えます。
図のようにNをとると、MH=1㎝なので、MN= \(\displaystyle\frac{1}{3}\) ㎝ NH= \(\displaystyle\frac{2}{3}\)㎝となります。
【解答】正八面体の体積は２×２×\(\displaystyle\frac{1}{3}\)×AH×２＝\(\displaystyle\frac{8}{3}\)×AH
正六面体の体積は \(\displaystyle\frac{2}{3}\)×AH×\(\displaystyle\frac{2}{3}\)×AH×\(\displaystyle\frac{2}{3}\)×AH＝\(\displaystyle\frac{8}{27}\)×AH×AH×AH
\(\displaystyle\frac{8}{3}\)×AH : \(\displaystyle\frac{8}{27}\)×AH×AH×AH
（ 立体あ）：（立体い）＝9 : AH×AH となります。
いま三角形AMHは直角三角形で、AH×AHはAM×AMからMN×MNを引いた数字
とわかってますので、MN＝１なので AM×AM－１となります。
また三角形AMCも直角三角形で、AM×AMはAC×ACからMC×MCを引いた数字なので
AC=2、MC＝１より AH×AH＝2×２－1×１－１×１＝２となります。
よって（ 立体あ）：（立体い）＝9 : ２・・・（答え）
先日のお話しも参考いただけるとうれしいです。★★★☆☆中級コース 正多面体の中に正多面体 | 算数コロシアム (mathcolo.com)
【おまけ】最初の図にもどりますと、一番大きな立法体の中の正八面体は\(\displaystyle\frac{1}{6}\)
の大きさ。さらにその中の立方体は\(\displaystyle\frac{2}{9}\)の大きさになってますので
小さな立方体は 外の大きな立方体の体積の\(\displaystyle\frac{2}{9}\)×\(\displaystyle\frac{1}{6}\)＝\(\displaystyle\frac{1}{27}\)
つまり1辺の長さが大きな立方体の\(\displaystyle\frac{1}{3}\)の立方体が中に入ることになるのですね。これを確認したかっただけの問題でした。（笑）
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