【問題】 ５種類のフィギュアが入っているガチャがあります。5分の１の確率それぞれのフィギュアが出てきます。ガチャは１回100円です。すべてそろえるためにかかるお金の期待値はいくらですか。
※ただし「期待値」とは、何かを何回も試したときに、平均的に何回成功するかを表す数値のことをいいます。たとえば、サイコロを投げて1が出る「期待値」は、6回投げたら1回は1が出る、という意味になります。
【ヒント】この問題は、「クーポンコレクターの問題」として知られています。
サイコロを投げて1が出る「期待値」は、6回投げたら1回は1が出るということは、どういうことでしょうか。サイコロを投げて1が出る確率は\(\displaystyle\frac{1}{6}\)です。この逆数は、\(\displaystyle\frac{6}{1}\) ＝6になります。
これは、サイコロを6回投げたら1回は1が出る、という意味になります。
つまり、「期待値」は「確率」の逆数になります。これに気づけば解けると思います。
【答え】
5種類のフィギュアがすべて揃うまでに必要なガチャの回数の期待値を求めます。これは、各フィギュアが出るまでの平均的な試行回数の和として計算できます。
最初のフィギュアを得るまでの試行回数の期待値は\(\displaystyle\frac{6}{5}\) = 1回です。
なぜなら、5種類のフィギュアのうちどれでもよいからです。
2番目の新しいフィギュアを得るまでの試行回数の期待値は\(\displaystyle\frac{5}{4}\)回です。
3番目の新しいフィギュアを得るまでの試行回数の期待値は\(\displaystyle\frac{5}{3}\)回です。
4番目の新しいフィギュアを得るまでの試行回数の期待値は\(\displaystyle\frac{5}{2}\)回です。
最後のフィギュアを得るまでの試行回数の期待値は\(\displaystyle\frac{5}{1}\)回です。
よって、すべてのフィギュアを得るまでのガチャの回数の期待値は
1 + 1.25 + 1.666 + 2.5 + 5 = 11.416回となります。1回のガチャには100円がかかりますから、11.416×100=1,141.6円
つまり 1,142円・・（答え）となります。
コメント