★★☆☆☆中級コース　場合の数と確率

2.0
灘中　2022年入試問題より

【問題】A,B,C,Dは１以上10以下の整数です。
A,B,C,Dの中に同じ数字が含まれてもよいものとします。
A×B＋A×C＋A×D＋B×C×Dが偶数になるようなA,B,C,D
の組は全部で何組ありますか。

【ヒント】色々な解き方があると思いますが、漏れなくだぶりなくカウントすることに心がけます。
問題自体は簡単なのですが、整理して考えなければ頭がこんがらがります。
A,B,C,Dの数の組合せは、全部で、10×10×10×10通りあります。
A×B＋A×C＋A×D＝A×（B+C+D)とまとめると便利です。

具体的に考えてみます、2つの数の和が偶数になるパターンは、
偶数＋偶数＝偶数、奇数＋奇数＝偶数、偶数＋奇数＝奇数、奇数＋偶数＝奇数の
4通りのうち2通りとなります。
与えられた問題は　A×（B+C+D)＋B×C×Dが偶数になる場合ですので、
・Aが偶数の場合、B×C×Dが偶数となりますので、B,C,Dのうちの少なくとも1つが偶数です。
・Aが奇数の場合、
　・さらにB+C+Dが奇数の場合は、B×C×Dが奇数
　　これはB,C,Dが全て奇数ということです。
　・B+C+Dが偶数の場合は、B×C×Dが偶数　となります。
　　B,C,Dのうちのすくなくとも1つが偶数である必要があり、
　　かつB+C+Dが偶数ということは、B,C,Dは「偶数が１つだけ」か「すべて偶数」です。

　　

【解答】
条件をみたす確率は、下図より、\(\displaystyle\frac{7}{16}\)＋\(\displaystyle\frac{1}{16}\)+\(\displaystyle\frac{4}{16}\)　＝\(\displaystyle\frac{12}{16}\)　

A,B,C,Dの組合せは10×10×10×10通りあるので、
10×10×10×10×\(\displaystyle\frac{12}{16}\)＝10000×\(\displaystyle\frac{3}{4}\)=2500×３＝7500 組・・・（答え）