【例題】赤い正方形の面積が１㎠のとき、青の５角形の面積はいくつですか。
今回は、ピックの法則といわれているものをご紹介します。
格子点を線で結んでできる図形を格子多角形といいます。
格子多角形は普通に面積を求めることができますが、下のような式でも計算できます。
(面積)＝(まわりの点の数)×\(\displaystyle\frac{1}{2}\)+(内部の点の数)ー１
この式は算数の範囲での証明は難しいですが、イメージだけ共有します。
下の左図のようなハートマークを格子上に書いたとします。この格子単位を少し
大きくすると右図のようになります。これはカメラの画素やプリンタの解像度と
同じような絵の作り方をイメージするとよいと思います。
なかなかお伝えしたいイメージの図が書けませんでしたので、
解像度とは？ 図解で超わかりやすく解説【 PPI / DPI 】 | 321web さんの図を
お使いさせていただきました。あくまでもイメージです。
今回の例の図で考えていきます。今、格子単位を赤の正方形としたときに、
1つの格子単位の４角の面積への影響度をイメージしてみます。
格子単位4角の緑の角の部分は100％中に入っているので影響度100％（１）となります。
格子単位4角の赤い角の部分は線上にあり、50％（\(\displaystyle\frac{1}{2}\))の影響度となります。
ここまではイメージしやすいと思いますが、青い角の部分は少し難しいです。
点（円）のうちに入っている角度分影響していると考えると、青い角の内側の角度の合計は
多角形の内角の和にあたります。
N角形の内角の和は、180×（N-2 ）＝（180×N－360）度ですので
これを全体の360°でわると
\(\displaystyle\frac{180×N－360}{360}\)=\(\displaystyle\frac{1}{2}\)×N-1
となります。
青と緑と赤の点の合計を求めると
\(\displaystyle\frac{1}{2}\)×（青い点）-1＋\(\displaystyle\frac{1}{2}\)×（赤い点）＋緑の点
＝（青と赤の点）×\(\displaystyle\frac{1}{2}\)＋（緑の点）－１
となります。
実際に計算すると、
面積＝７×\(\displaystyle\frac{1}{2}\)＋１３－１
＝3.5+12=15.5㎠ となります。
【応用】下記は２００６年の女子学院中学の入試問題です。
面積が１㎠の正三角形をすきまなく敷き詰めました。３つの点A,B,Cを結んでできる
三角形の面積は何㎠ですか。
この問題は正方形ではなく正三角形×２の平行四辺形（２㎠）を１つの単位として
ピックの定理を使ってみます。
面積＝５×\(\displaystyle\frac{1}{2}\)＋１２－１＝2.5＋11＝13.5
平行四辺形の１つの面積は２㎠なので 13.5×２＝27㎠・・（答え）
となります。ピックの定理を使うと一瞬ですね。
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