数と計算の武器　部分分数分解

　\(\displaystyle\frac{1}{1×2}\)+\(\displaystyle\frac{1}{2×3}\)+\(\displaystyle\frac{1}{3×4}\)+\(\displaystyle\frac{1}{4×5}\)+\(\displaystyle\frac{1}{5×6}\)

これ普通に計算すると、分母を60で通分して
\(\displaystyle\frac{30}{60}\)+\(\displaystyle\frac{10}{60}\)＝\(\displaystyle\frac{5}{60}\)+\(\displaystyle\frac{3}{60}\)+\(\displaystyle\frac{2}{60}\)=\(\displaystyle\frac{30+10+5+3+2}{60}\)＝\(\displaystyle\frac{50}{60}\)=\(\displaystyle\frac{5}{6}\)　となります。
これでもいいですが、これでは似たような問題がでたときに応用が利きません、
たとえば同じような問題で、
\(\displaystyle\frac{1}{1×2}\)+\(\displaystyle\frac{1}{2×3}\)+\(\displaystyle\frac{1}{3×4}\)＋・・・・・・+\(\displaystyle\frac{1}{98×99}\)+\(\displaystyle\frac{1}{99×100}\) という問題がでたら、どうしましょうか。
これを簡単に解く方法があるのです。
部分分数分解といわれる技です。
算数の範囲でつかえそうな部分分数分解についてまとめてみます。

【ウラ技】　　\(\displaystyle\frac{1}{1×2}\) は\(\displaystyle\frac{1}{1}\)ー\(\displaystyle\frac{1}{2}\)に分解できる！

これを使えば、先ほどの問題も簡単にとけます。
\(\displaystyle\frac{1}{1×2}\)+\(\displaystyle\frac{1}{2×3}\)+\(\displaystyle\frac{1}{3×4}\)+\(\displaystyle\frac{1}{4×5}\)+\(\displaystyle\frac{1}{5×6}\)

＝（\(\displaystyle\frac{1}{1}\)ー\(\displaystyle\frac{1}{2}\)）＋（\(\displaystyle\frac{1}{2}\)ー\(\displaystyle\frac{1}{3}\)）＋（\(\displaystyle\frac{1}{3}\)ー\(\displaystyle\frac{1}{4}\)）＋（\(\displaystyle\frac{1}{4}\)ー\(\displaystyle\frac{1}{5}\)）＋（\(\displaystyle\frac{1}{5}\)ー\(\displaystyle\frac{1}{6}\)）

=\(\displaystyle\frac{1}{1}\)ー\(\displaystyle\frac{1}{6}\)=\(\displaystyle\frac{5}{6}\)

この考え方を使えば、\(\displaystyle\frac{1}{1×2}\)+\(\displaystyle\frac{1}{2×3}\)+\(\displaystyle\frac{1}{3×4}\)＋・・・・・・+\(\displaystyle\frac{1}{98×99}\)+\(\displaystyle\frac{1}{99×100}\)　も簡単ですね。

答えは、\(\displaystyle\frac{1}{1}\)ー\(\displaystyle\frac{1}{100}\)=\(\displaystyle\frac{99}{100}\)　です。

応用１　\(\displaystyle\frac{1}{3}\)+\(\displaystyle\frac{1}{15}\)+\(\displaystyle\frac{1}{35}\)+\(\displaystyle\frac{1}{63}\)

この問題もなんとなく、部分分数分解を使うことができそうです。
問題は、\(\displaystyle\frac{1}{1×3}\)+\(\displaystyle\frac{1}{3×5}\)+\(\displaystyle\frac{1}{5×7}\)+\(\displaystyle\frac{1}{7×9}\) と変形できます。

実はこのように分母を２つの数のかけ算に分解し、
１．①　②　→②　③　→③　④　→④　⑤　→⑤　⑥・・・のように連続し、かつ
２．次の数との差、つまり②－①、③－②、④ー③、⑤－④がすべて一定の間隔の場合
この２つの条件を満たせば部分分数分解できます。
今回の例は、１．は満たしていることはすぐわかりますし、２．の条件の一定の間隔は２ですね。

\(\displaystyle\frac{1}{1×3}\) を　\(\displaystyle\frac{1}{1}\)ー\(\displaystyle\frac{1}{3}\)に分解し、実際に計算すると、\(\displaystyle\frac{2}{1×3}\)となりますので、
\(\displaystyle\frac{1}{1×3}\)＝\(\displaystyle(\frac{1}{1}\)ー\(\displaystyle\frac{1}{3})\)×\(\displaystyle\frac{1}{2}\)と分解できることになります。

同様に、\(\displaystyle\frac{1}{3×5}\)=\(\displaystyle(\frac{1}{3}\)ー\(\displaystyle\frac{1}{5})\)×\(\displaystyle\frac{1}{2}\)と分解できます。
つまり、分解するときは、条件２の一定間隔の数字（今回は２）でわる（\(\displaystyle\frac{1}{一定間隔の数字}\)をかける）必要があります。

はい、ということで\(\displaystyle\frac{1}{3}\)+\(\displaystyle\frac{1}{15}\)+\(\displaystyle\frac{1}{35}\)+\(\displaystyle\frac{1}{63}\)＝\(\displaystyle\frac{1}{1×3}\)+\(\displaystyle\frac{1}{3×5}\)+\(\displaystyle\frac{1}{5×7}\)+\(\displaystyle\frac{1}{7×9}\)

=\(\displaystyle(\frac{1}{1}\)ー\(\displaystyle\frac{1}{3})\)×\(\displaystyle\frac{1}{2}\)＋\(\displaystyle(\frac{1}{3}\)ー\(\displaystyle\frac{1}{5})\)×\(\displaystyle\frac{1}{2}\)+\(\displaystyle(\frac{1}{5}\)ー\(\displaystyle\frac{1}{7})\)×\(\displaystyle\frac{1}{2}\)+\(\displaystyle(\frac{1}{7}\)ー\(\displaystyle\frac{1}{9})\)×\(\displaystyle\frac{1}{2}\)

=\(\displaystyle(\frac{1}{1}\)ー\(\displaystyle\frac{1}{9})\)×\(\displaystyle\frac{1}{2}\)=\(\displaystyle\frac{8}{9}\)×\(\displaystyle\frac{1}{2}\)=\(\displaystyle\frac{4}{9}\)となります。

応用２．分子が１でない（同じ数字の）場合　\(\displaystyle\frac{3}{1×2}\)+\(\displaystyle\frac{3}{2×3}\)+\(\displaystyle\frac{3}{3×4}\)+\(\displaystyle\frac{3}{4×5}\)+\(\displaystyle\frac{3}{5×6}\)　

これは比較的簡単です、３でくくり出せば、最初の問題と一緒になります。つまり、
　3×（\(\displaystyle\frac{1}{1×2}\)+\(\displaystyle\frac{1}{2×3}\)+\(\displaystyle\frac{1}{3×4}\)+\(\displaystyle\frac{1}{4×5}\)+\(\displaystyle\frac{1}{5×6}\)）となります。

よって答えは、3×\(\displaystyle\frac{5}{6}\)＝\(\displaystyle\frac{5}{2}\)=2\(\displaystyle\frac{1}{2}\)となります。

ただし、この問題はわかりやすくしてくれてますが、
\(\displaystyle\frac{3}{2}\)+\(\displaystyle\frac{1}{2}\)+\(\displaystyle\frac{1}{4}\)+\(\displaystyle\frac{3}{20}\)+\(\displaystyle\frac{1}{10}\)のような形で出題すると一気に難しくなりますね。（ちなみに同じ問題です。）

応用３．分子が同じでない場合　\(\displaystyle\frac{3}{1×2}\)+\(\displaystyle\frac{7}{2×3}\)+\(\displaystyle\frac{13}{3×4}\)+\(\displaystyle\frac{21}{4×5}\)+\(\displaystyle\frac{31}{5×6}\)　

このパターンの場合は、仮分数を対分数に直してみます。
1\(\displaystyle\frac{1}{1×2}\)+1\(\displaystyle\frac{1}{2×3}\)+1\(\displaystyle\frac{1}{3×4}\)+1\(\displaystyle\frac{1}{4×5}\)+1\(\displaystyle\frac{1}{5×6}\)　

これは（１＋１＋１＋１＋１）＋\(\displaystyle\frac{1}{1×2}\)+\(\displaystyle\frac{1}{2×3}\)+\(\displaystyle\frac{1}{3×4}\)+\(\displaystyle\frac{1}{4×5}\)+\(\displaystyle\frac{1}{5×6}\)　と変形でき、あとは最初の例題と同じですね。

よって答えは５\(\displaystyle\frac{5}{6}\)となります。

このパターンの場合、
\(\displaystyle\frac{1}{1×2}\)+\(\displaystyle\frac{7}{2×3}\)+\(\displaystyle\frac{1}{3×4}\)+\(\displaystyle\frac{21}{4×5}\)+\(\displaystyle\frac{1}{5×6}\)　

=\(\displaystyle\frac{1}{1×2}\)+1\(\displaystyle\frac{1}{2×3}\)+\(\displaystyle\frac{1}{3×4}\)+1\(\displaystyle\frac{1}{4×5}\)+\(\displaystyle\frac{1}{5×6}\)　

=（１＋１）＋\(\displaystyle\frac{1}{1×2}\)+\(\displaystyle\frac{1}{2×3}\)+\(\displaystyle\frac{1}{3×4}\)+\(\displaystyle\frac{1}{4×5}\)+\(\displaystyle\frac{1}{5×6}\)　 のようなパターンも考えられます。

ちなみに答えは2\(\displaystyle\frac{5}{6}\)ですね。

応用４．分母が3つのかけ算に分解できる場合　\(\displaystyle\frac{1}{1×2×3}\)+\(\displaystyle\frac{1}{2×3×4}\)+\(\displaystyle\frac{1}{3×4×5}\)+\(\displaystyle\frac{1}{4×5×6}\)+\(\displaystyle\frac{1}{5×6×7}\)

\(\displaystyle\frac{1}{1×2×3}\)=（\(\displaystyle\frac{1}{1×2}\)ー\(\displaystyle\frac{1}{2×3}\)）×\(\displaystyle\frac{1}{2}\)　と変形できます。

その後も想像できますが、

\(\displaystyle\frac{1}{2×3×4}\)＝（\(\displaystyle\frac{1}{2×3}\)ー\(\displaystyle\frac{1}{3×4}\))×\(\displaystyle\frac{1}{2}\)

これより、（与えられた式）＝（\(\displaystyle\frac{1}{1×2}\)ー\(\displaystyle\frac{1}{6×7}\))×\(\displaystyle\frac{1}{2}\)

=\(\displaystyle\frac{21-1}{6×7}\)×\(\displaystyle\frac{1}{2}\)

=\(\displaystyle\frac{10}{6×7}\) 　＝\(\displaystyle\frac{5}{21}\)

さらに応用で、\(\displaystyle\frac{1}{1×3×5}\)+\(\displaystyle\frac{1}{3×5×7}\)+\(\displaystyle\frac{1}{5×7×9}\)+\(\displaystyle\frac{1}{7×9×11}\)+\(\displaystyle\frac{1}{9×11×13}\)　のような応用も考えられますが、
ご紹介したパターンをくみあわせることによって対応できると思います。

ちなみにこの場合は　5-1＝４、7-3=4・・ということで分解して\(\displaystyle\frac{1}{4}\)倍するとうまくいきます。

（\(\displaystyle\frac{1}{1×3}\)ー\(\displaystyle\frac{1}{11×13}\))×\(\displaystyle\frac{1}{4}\)

=\(\displaystyle\frac{35}{429}\) ですね。

以上いろいろ試して自分のものにしてください。