難易度
2018年 算数オリンピック ファイナル問題
【問題】ＡＢ＝ＡＤかつ∠ＡＢＣ＋∠ＡＤＣ＝180°であるような四角形ＡＢＣＤにおいて、辺ＢＣ上にＣＰ＝ＣＤとなるように点Ｐをとると、角ＡＢＰ：角ＢＡＰ＝９：７となった。Ｘの角度は何度ですか。
【ヒント１】∠ＡＢＰ＋∠ＡＤＣ＝１８０°，ＡＢ＝ＡＤに注目して、△ＡＤＣを△ＡＢＱに移動させます。
【ヒント２】△ＡＱＢと△ＡＣＰにおいて、2辺（ＡＱ＝ＡＣ，ＱＢ＝ＣＰ）とその間の角（△ＡＱＣが二等辺三角形なので∠ＡＱＢ＝∠ＡＣＰ）が等しく、合同な三角形となります。よってＡＢ＝ＡＰとなり、△ＡＢＰも二等辺三角形となります。
【解答】△ＡＢＰは二等辺三角形なので、∠ＡＢＰ＝∠ＡＰＢ＝⑨、△ＡＢＰの内角の和は１８０°なので、⑦＋⑨＋⑨＝180°となり、①＝\(\displaystyle\frac{180}{25}\)=7.2°となります。また、△ＡＢＱと△ＡＰＣは合同な三角形なので求めるＸは①が16個ぶんですので、
7.2×16＝115.2°・・・（答え）
おまけ
中学生で習う知識を使うと、∠ＡＢＣ＋∠ＡＤＣ＝180°より、四角形ＡＢＣＤは円に内接していることがわかります。また∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＤ， ∠ＡＤＢ＝∠ＡＣＢで、かつ△ＡＢＤは二等辺三角形なので、∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢなため、∠ＤＣＡ＝∠ＰＣＡがわかります。また、ＣＤ＝ＣＰなので、四角形ＡＤＣＰはたこ型四角形（∠ＣＲＤ＝∠ＣＲＰ＝90°）となり、Ｘ＝∠ＡＤＣ＝∠ＡＰＣ＝∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＰとなります。よって、7.2×１６＝115.2°・・・（答え）
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