難易度 L(48,54,24,60)
【問題】Xの大きさは何度ですか。
6の倍数の角度の問題は「例の図形」を思いだす。
【ヒント１】60°があり、一見簡単そうにみえますが、なかなかうまくいきません。
唯一の糸口は与えられた数字、48,54,24,60がすべて6の倍数であること。といえば、例のあの形を使いたくなります。しかし、６の倍数でも特徴的な108や72,36という数字がないため使えるかどうか不安もあります。いきなり答えをみるともったいないので、底辺10㎝くらいの大きさで、いちど分度器と定規で実際に問題を作図して、じっくり眺めていただきたいです。（笑）
【ヒント２】こんな感じの補助線が近道であると思います。もっと簡単な方法があればお教えください。
【解答】BCを1辺とする正五角形を点Aと同じ側に下図のようにとり、各点にA,B,C，D,E,Ｆ,Ｇ,Ｈと記号をふります。
・四角形ＤＥＣＦについて、正五角形の性質より∠ＥＤＦ＝∠ＥＣＦ＝36°，∠ＤＦＣ＝∠ＤＥＣ＝104°となり、四角形ＤＥＣＦはひし形となります。
・△ＥＣＢについて、∠ＥＣＢ＝∠ＥＢＣ＝36°なので△ＥＣＢはＥＣ＝ＥＢの二等辺三角形となる
・△ＦＣＨについて、∠ＦＣＨ＝∠ＦＨＣ＝36°なので△ＦＣＨはＦＣ＝ＦＨの二等辺三角形となる
ここで、ＤＥを一辺とする正三角形ＤＸＥをとると、△ＥＸＣについて∠ＸＥＣ＝180-24=156°なので∠ＣＸＥ＝12°となり、∠ＣＸＥ＝∠ＸＣＥ＝1２°で△ＥＸＣはＥＸ＝ＥＣの二等辺三角形となる
△ＥＸＢはＥＸ＝ＥＢの二等辺三角形なので、∠ＥＸＢ＝∠ＥＢＸ＝\(\frac{180-48}{2}\)=66°
よって∠ＸＢＣ＝66+36=102°となり、これは今回の問題で与えられた点をＧとすると、これと一致します。
・同様にＤＦを一辺とする正三角形ＤＦＹをとると、この点は今回の問題で与えられた点をＡとすると、Ｙはこの点と一致します。
以上をふまえると、△ＥＧＣと△ＦＡＣは2辺（ＥＧ＝ＦＡ，ＥＣ＝ＦＣ）とその間の角（∠ＧＥＣ＝∠ＡＦＣ＝１５６°）が等しいので合同な三角形となります。よって△ＡＧＣは正三角形となります。
Ｘ＝∠ＧＡＢ＝∠ＧＡＣ－∠ＢＡＣ＝60-42=18°・・・（答え）
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