この問題は、The Mathematical Gazette誌１９２２年１０月号に掲載され、反響が大きく、翌１９２３年５月号で、読者からの投稿による７通りの解法が掲載され、三角関数を用いたものが３通り、初等幾何を用いた解法が４通り紹介されたそうです。斉藤 浩著「ラングレーの問題にトドメをさす！」より。
難易度
L(20,60,50,30)
【ヒント】ＢＤ＝ＢＦとなるFをとり、またED=ＥＧとなるＧをDFの延長線上にとります。 △BDFは二等辺三角形、△EDGは正三角形となります。
【解答】図が正確でないため少し違和感があります。ＢＤ＝ＢＦとなるFをとり、またED=ＥＧとなるＧをDFの延長線上にとります。△BDFは二等辺三角形なので、
∠BFD=∠BDF＝\(\displaystyle\frac{180-20}{2 }\) =８０°
∠DBE=∠DEB=２０°なので△DBEは二等辺三角形となり、DB=DE
△EFGと△DBCはEG=DBなので１辺とその間の角が等しく合同な三角形です。（図が正確でないためそのようにはみえませんが（笑））
ＦＤ＝ＤＧ－ＦＧ＝ＢＦ（＝ＢＤ＝ＥＤ）－AB（＝BC）＝ＦＡ となります。
よって、△ＦＤＡは二等辺三角形となり、∠ＦＤＡ＝\(\displaystyle\frac{180-80}{2 }\) =5０°
Ｘ＝∠ＡＤＢ＝１８０－（６０＋４０＋５０）＝３０° ・・・(答え）
実はこの問題、正18角形の対角線からできています。ラングレーの問題は整角四角形の問題（４点角問題）とも言われ、１０°単位のすべての4点角問題は、正１８角形対角線の交点により、リスト化することができます。
この問題は他にも色々な考え方があり、問題のシンプルさとアプローチの多さが故に注目を集めています。別解についても少しずつ掲載していきます。
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