★★★☆☆難関コース　正12角形の問題　灘中入試問題より

3.0
灘中学　2022年入試問題より

この問題、絶対に解いてほしい問題です。とてもよくできていると思います。
是非なんどもなんども自分のものになるまで解いてください。

【問題】図のように1辺の長さが１ｃｍの正12角形があります。
この正12角形の面積は、一辺の長さが１ｃｍの正三角形12個の
面積の和よりも、ア㎠大きいです。また、下図の色のついた部分の面積は
1辺の長さが１ｃｍの正三角形6個の面積の和よりも、
イ㎠大きいです。

【ヒント】1辺が１ｃｍの正三角形ということで、まず下のようにしてみました。
以前算数オリンピックで出題されたテーマとほぼ同じ問題です。
算数オリンピックで出題された問題は、下図の面積を求めるというものでした。

問題を解くにあたり、とても重要な三角形は下図の三角形です。
これは、三角定規で有名な、45°，45°，90°の直角三角形と30°，60°，90°の直角三角形
と同じくらい重要な三角形です。
一辺の長さを②としたとき、これが底辺になり、さらに高さが①になります。
よって面積は②×①×\(\displaystyle\frac{1}{2}\)=①となります。

【解答】下の図のように、1辺が１ｃｍの正三角形を12個書くと、
1辺が１ｃｍの正方形が6個残る。
よって、６㎠・・・（アの答え）

オレンジ部分は1辺１ｃｍの正方形、ブルーは1辺１ｃｍの正三角形となります。
よってオレンジ部分の半分（直角二等辺三角形）の面積は\(\displaystyle\frac{1}{2}\)となり、
1辺が１ｃｍの30°の二等辺三角形の面積は\(\displaystyle\frac{1}{4}\)です。
紫の正三角形以外の部分は、１辺１ｃｍの正三角形が6個と
直角三角形が6個、30°の二等辺三角形が3個で構成されてます。
つまり、1辺が１ｃｍの正三角形6個＋３＋\(\displaystyle\frac{3}{4}\)となります。

正三角形1つの面積を①とすると、
求める面積＝⑫＋６－（⑥＋\(\displaystyle\frac{15}{4}\))
　＝⑥＋６－\(\displaystyle\frac{15}{4}\)=⑥＋\(\displaystyle\frac{9}{4}\)

となり、正三角形6個の面積より\(\displaystyle\frac{9}{4}\)大きい・・（イの解答）

【おまけ１】せっかくですので正12角形の関連問題を２つご紹介します。
ご説明は省かせていただきます。
ジュニア算数オリンピック2019トライアル
図は、面積が72㎝²の正十二角形に、正十二角形と
1辺の長さが等しい正三角形を組み合わせた図形です。
色のついた部分の面積は何㎝²ですか。