灘中学 2022年入試問題より
【問題】図のように体積が144㎤の四角すいＯ-ABCDがあります。
辺ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ，ＯＤの長さはすべて等しく底面は正方形ＡＢＣＤです。
Ｅは辺ＡＤの真ん中の点、Ｆは辺ＢＣの真ん中の点です。
ＧはＯＤ上の点で、ＯＧの長さはＧＤの長さの5倍です。この四角すいを
3点Ｅ，Ｆ、Ｇを通る平面と、その平面に平行でＡを通る平面で3つの
立体に切り分けたときＯもＤも含まない立体の体積はア㎤です。
【ヒント】
図のように、Ｈ,Ｉ,Ｊ,Ｋ,Ｌ,N,N,Pをとります。
断面図△ＯＨＩを切り口として考えると、△ＯＭＩ：四角形ＭＮＰＩ：△ＮＨＰ＝８：３：１です。
O-ABCDの体積は
底面ＯＨＩ×高さの平均＝底面ＯＨＩ×(O+CD+AB)×\(\displaystyle\frac{1}{3}\)
=12×(0+6+6)×\(\displaystyle\frac{1}{3}\)=48
この体積を求める考え方を一度経験していないとこの問題は難しいかもしれません。
厳密に考えると難しいので、感覚的につかむのがよさそうです。
Ｏ-ABCDは144㎤なので、144＝48×３より全体を3倍して
△ＯＭＩ：四角形ＭＮＰＩ：△ＮＨＰ＝24：9：3 とわかります。
【解答】
O-JKABの体積: 三角形ＯＭＩ×高さの平均＝24×(O+JK+AB)×\(\displaystyle\frac{1}{3}\)
＝24×(0+4+6)×\(\displaystyle\frac{1}{3}\)=80
LG-CDEFの体積：△ＮＨＰ×高さの平均＝△ＮＨＰ×(LG+CD+EF)×\(\displaystyle\frac{1}{3}\)
=3×(5+6+6)×\(\displaystyle\frac{1}{3}\)=17
求める体積は 144-(80+17)=47㎤・・・（答え）
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