【問題】正12面体は何本の辺をきると展開図を書くことができますか。
また具体的な展開図を一つ書いてください。 2019 年栄光学園中入試問題改題
【ヒント】正12面体は正五角形が12枚でできています。
面の数は 12枚ですね。
それでは、辺の数は？ 正五角形1つあたり5本の辺があります。
それが12枚あるので 5×12=60本の辺があります。
しかし、下の図のように、1つの辺を2面で共有してますので、
60÷２＝30本となります。
正多面体の辺の数は 面の辺の数 × 面の数 ÷２となります。
２は1辺が共有する面の数は常に２面なためです。
それでは頂点の数はどうでしょうか。
公式を覚えるのではなく、上の「考え方」が頭に入っていればわかります。
１つの面の頂点の数は、5個です。
これが12面ありますので、12×５＝60個となります。
1つの頂点を3面で共有してますので、60÷３＝20個ですね。
頂点の数は 面の頂点の数 × 面の数÷（1点が共有する面の数） となります。
【解答】
正12面体の辺の数は
5（正五角形の辺の数）×12（正五角形の枚数）÷２（共有部分）＝30本
となります。
また、12枚の面が辺どうしでつながっている必要がありますので、
11本の共有の辺でつながっている必要があります。
よって切る必要のある辺は、全体30－11＝19本・・・（答え）
これを参考に具体的な展開図を4つほどご紹介します。（ほかにもあります）
代表的なものは、上の２つです。とくに1つ目はフォルム（形）がきれいですね。
正12面体の展開図の数は 43380種類あるそうです。
どうやって計算するかわかりません（笑）が、今回の問題はそれを考える
入り口となる問題です。
これだけの種類あれば正5角形を12個
つなげると、ほぼ正12面体になりそうですね（笑）
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