約数とは
約数とは、ある整数をわりきることのできる整数のことです。
例えば、６の約数は、１,2,3,6となります。
約数の求め方
約数をもとめるには、その数を素数で表してみることが大切です。
すべての数は素数か素数の積で表すことができます。
これを素因数分解といいます。
例えば、168を素数で分解してみると、できる限り小さい素数２や３で割ってみます。
2で割ると、84。まだ２で割れて4２。まだわれて２１。ここで3で割れて７となり
７は素数ですのでこれ以上われません。
以上により168＝2×2×2×３×７と表すことができます。
同じ数（文字）を何度もかける表現方法（累乗<るいじょう>）
同じ数を何度もかける計算を表記するー例えば、11を100回かける時、
と何度も表現するのは、とても大変です。
そんな時、決め事として、\(11^{100}\) と書き、11の100乗と呼んでいます。
これは算数では出てきませんが、とても便利なので是非使ってほしいです。
ちなみに、\(11^{0}\) は１で、0乗はどんな数字でも１となります。
約数の個数を求める
約数の個数は素因数分解できればすぐにわかります。
先ほどの例で168は
「２」が3個含まれています。
よって２を0個使う、1個使う、2個使う、3個使うの4通りが考えられます。
次に3が1個含まれてますので、0個、1個の2通りが考えられます。
同様に7が1個含まれるので、0個、1個の2通りが考えられます。
これらをくみあわせると、4×2×２＝16通りが考えられ、これが約数の個数です。
約数の総和を求める
同様に168で考えると
約数の総和は （１＋２＋４＋８）×（１＋３）×（１＋７）と表現できます。
15×4×８＝30×４×４＝16×30＝480となります。
ちなみに約数は 1,168 2,84 4,42 8,21 3,56 6,28 7,24 12,14 の16通りと
なり、先ほどの計算と同じ数になります。このようにペアで書きだすと抜け漏れが
少なくなります。
約数の数からわかること
約数が1個となる場合は１。
約数が2個となる場合は素数。
約数が3個となる場合は素数の平方数 2×２ 3×３ 5×５など
約数が4個となる場合は素数を3回かけた数 2×2×２などか 素数A×素数B 3×７など
約数が奇数個となる場合は平方数 2×２ 4×４ ８×８など
約数の和と約数の逆数の和の関係
６を例に考えてみます。
６を素数に分解すると、2×３となり、約数は１,6 2,3の4個となります。
約数の逆数は、1,\(\displaystyle\frac{1}{6}\),\(\displaystyle\frac{1}{2}\),\(\displaystyle\frac{1}{3}\) となり、
逆数の和は、\(\displaystyle\frac{6+1+3+2}{6}\)となります。
分子は約数の総和となっていますので、約数の逆数の和は、約数の総和を与えられた数で割った数と等しくなるといえます。
これはとても興味深いです。
最大公約数と最小公倍数
共通の約数を公約数といい、その中で最も大きな公約数を最大公約数といいます。
共通の倍数を公倍数といい、その中で最もちいさな倍数を最小公倍数といいます。
この求め方は、両方ともほぼ同じ方法ですのでいっしょにご紹介します。
【例】24 72 36 という数字があります。この最大公約数と最小公倍数を求めるには、
先ほどご紹介した約数を見つける方法と同じやりかたでさがします。
前回とちがうのは、すべてでわれる素数を見つけるということです。
今回２でわると、12 36 18となりますのでもう1回２でわれます。
さらに３でわれそうです。 ２ ６ ３が残り、これ以上すべてで割れる数字はなさそう
なのでここで終了です。
このひっ算の オレンジ部分のかけ算、2×2×３＝12が最大公約数で、
オレンジとブルーすべてのかけ算 2×2×3×2×6×3＝432が最小公倍数となります。
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